皆さん、こんにちは！データ分析の世界へようこそ。
私たちの身の回りには、単純な平均値だけでは捉えきれない、ちょっと「クセのある」データがたくさんあります。例えば、1回の事故で保険会社が支払う修理費用を考えてみましょう。軽い接触事故なら数万円で済むかもしれませんが、大きな事故になれば数千万円に達することもあります。あるいは、電球が切れるまでの時間。ほとんどは数千時間で寿命を迎えますが、ごく稀に驚くほど長持ちするものもあれば、買ってすぐに切れてしまうものもあります。これらのデータに共通するのは、「必ずプラスの値をとり」「値のばらつきが非常に大きい（ごく稀にものすごく大きな値が出る）」という点です。マイナスになることは決してありません。
こうしたデータを無理に従来の分析手法に当てはめようとすると、「予測修理費用マイナス5万円」といった、現実にはありえないおかしな結果が出てしまうことがあります。そこで活躍するのが、今日ご紹介する「ガンマ回帰モデル」です。これは、まさに今お話ししたような「プラスの値しか取らず、ばらつきが大きいデータ」を分析するために生まれた、特別な分析手法なんです。
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ガンマ分布って何者？
ガンマ回帰モデルを理解する上で欠かせないのが、「ガンマ分布」という考え方です。難しく考える必要はありません。ガンマ分布とは、先ほどのような「プラスの値しか取らず、右側に長く裾を引くデータ」の確率的な振る舞いを記述するものです。
このガンマ分布は、いくつかのパラメータを設定することで、様々なデータの特性に適合させることができます 。例えば、あるパラメータ（形状母数）を調整すれば分布の山の険しさや裾の伸び具合が変わり、別のパラメータ（尺度母数）で分布全体のスケールを調整できます 。これにより、品質が安定していてほとんど同じ時期に寿命を迎える電球のデータから、当たり外れが大きく寿命がバラバラな電球のデータまで、その確率的な性質を柔軟に表現できるのです。
ガンマ分布は、もともと「ある事象が一定回数起こるまでの時間」を記述するのに使われてきました 。例えば、「バス停でバスを待っていて、5台目のバスが来るまでの時間」や「コールセンターで電話が100件かかってくるまでの時間」といった状況です 。1つの事象が起こるまでの時間を扱う指数分布（ガンマ分布のシンプルな親戚のようなものです）よりも、もっと複雑な状況を表現できるのがガンマ分布の強みと言えるでしょう 。
「分布」から「回帰」へ：「リンク関数」とは
ガンマ分布がデータの確率的な振る舞いを記述するものだとすると、「ガンマ回帰モデル」の「回帰」とは何でしょうか？「回帰」とは、簡単に言えば「ある結果（例えば修理費用）が、他の要因（例えば運転手の年齢や車種、事故の状況など）によってどう変わるのかを予測する」ことです。
しかし、ここで一つ問題が生じます。修理費用のようなものはガンマ分布という特殊な確率分布に従うのに、運転手の年齢や車種といった要因を組み合わせて作る予測のための計算式（線形予測子といいます）は、単純に計算するとマイナスの値になってしまう可能性があります。これでは「予測修理費用マイナス5万円」というおかしな結果が再び出てしまいます。
リンク関数
そこで登場するのが「リンク関数」という、いわば翻訳機です 。リンク関数は、予測のための計算式から出てきた値を、ガンマ分布のプラスの領域にうまく「翻訳」してくれる役割を担います 。例えば、「対数リンク関数」という翻訳機を使うと、計算式の途中結果がどんな値であっても、最終的な予測値は必ずプラスになるように変換してくれます 。このおかげで、モデルは現実と矛盾しない、意味のある予測値を出すことができるのです。
ガンマ回帰モデルは、「一般化線形モデル（GLM）」という、より大きなモデルのファミリーの一員です 。GLMファミリーには、他にも様々なデータの確率分布に対応できる仲間たちがいて、ガンマ回帰はその中でも「プラスの値で、ばらつきが大きいデータ」を扱うエキスパートというわけです。
ガンマ回帰モデルは、どんな場面で活躍するの？
ガンマ回帰モデルは、その特性から様々な分野でその力を発揮しています。
保険業界
保険業界では、予測困難な保険金支払いの分析に不可欠です。自動車保険を例にとると、契約者の年齢、性別、運転歴、車種、過去の事故歴、さらには事故の具体的な状況（単独事故か、相手がいるのか、人身事故か物損事故か）など、多岐にわたる要因から将来の保険金支払額を予測します。ガンマ回帰モデルを用いることで、大部分を占める少額の支払いから、ごく稀に発生する莫大な金額の支払いまでを考慮に入れた、より現実的なリスク評価が可能になります。これは、保険会社がより公平で適切な保険料を設定する上で非常に重要です。火災保険や自然災害保険においても同様で、建物の構造や所在地、過去の災害履歴などから、一度災害が発生した際の支払い規模を予測する際に役立ちます。特に大規模災害では支払額が青天井になる可能性もあるため、ガンマ回帰モデルのような裾の長い分布を扱えるモデルが適しているのです。
医療分野
医療分野でも、ガンマ回帰モデルは重要な役割を担っています。例えば、一人当たりの年間医療費の予測です。年齢、性別、持病の有無、生活習慣（喫煙、飲酒、運動習慣など）、居住地域といった情報から将来の医療費を予測することで、国の医療費全体の計画や、個人の健康増進プランの策定に役立てられます。また、特定の治療法にかかる費用の分析にも使われます。同じ病気でも、選択する治療法や患者さんの状態によって費用は大きく異なるため、どのような要因が治療費のばらつきに影響しているのかをガンマ回帰モデルで明らかにすることができます。新薬の開発においては、薬を投与してから効果が現れるまでの時間、効果が持続する時間、あるいは副作用が発生するまでの時間といった、個人差が大きくマイナスにはならない期間の分析にも応用されます。感染症の潜伏期間もガンマ分布に従うことがあると言われており 、感染者の属性と潜伏期間の関係を分析することで、感染拡大の予測や対策立案に貢献します。医療費の分析では、「そもそも医療サービスを利用するかどうか」と「利用した場合、いくらかかるか」という2段階で考える「ツーパートモデル」というアプローチがあり、この2段階目の「いくらかかるか」の部分でガンマ回帰モデルが活躍することがあります 。
製造業やエンジニアリングの分野
製造業やエンジニアリングの分野では、製品の信頼性や耐久性の評価にガンマ回帰モデルが欠かせません。電球、家電製品、自動車部品など、様々な製品が故障するまでの時間、つまり寿命を予測するのに使われます 。使用環境（温度、湿度、負荷など）や部品の材質といった要因が寿命にどう影響するかを分析し、適切な保証期間の設定やメンテナンス計画の最適化に繋げます。「この部品は、平均的には5000時間で寿命を迎えるが、使い方によっては1000時間で壊れることもあれば、1万時間以上持つこともある」といった、寿命のばらつきを考慮した分析が可能です。工場の生産ラインにある機械が、一度故障してから次に故障するまでの間隔を分析し、予防保全のタイミングを最適化して突発的なライン停止を防いだり、ある製品が故障した際に修理にかかる時間を予測したりするのにも役立ちます。
マーケティング分野
意外に思われるかもしれませんが、マーケティング分野でもガンマ回帰モデルは活用されています。例えば、顧客が商品を購入してから次に同じ商品（または関連商品）を購入するまでのリピート購入間隔を予測するのに使われます 。これにより、最適なタイミングでクーポンを送付したり、新商品をおすすめしたりといった、パーソナライズされたマーケティング施策を展開できます。「この顧客は平均して30日後にリピート購入する傾向があるが、キャンペーン時にはその間隔が短くなる」といった分析が可能です。また、新しい広告キャンペーンや販促イベントを行った際に、顧客の購買行動がどのように変化したか（例：購買までの時間が短縮したか、購買金額が増加したか）を測定するのにも利用されます 。さらに、顧客が将来にわたって企業にもたらしてくれる利益である顧客生涯価値（LTV）を推定する際に、購買頻度や購買期間のモデル化の一部としてガンマ分布の考え方が応用されることもあります 。AIと組み合わせることで、より精度の高い予測も期待されています 。
遊園地・災害・金融
その他にも、遊園地のアトラクションの待ち時間予測 、ある地域における自然災害の発生間隔の分析、金融分野での信用リスク評価など、ガンマ回帰モデルが応用できる場面は多岐にわたります。
ガンマ回帰モデルを使う上での「心得」
ガンマ回帰モデルは非常に強力なツールですが、その力を最大限に引き出すためにはいくつかの「心得」があります。まず嬉しい点として、このモデルは「プラスの値」を自然に扱えるため、予測結果がマイナスになる心配がありません 。また、平均値だけでなくデータの散らばり具合が予測値によって変わるような、「大きなばらつき」を持つデータを得意としています 。例えば、高額な保険金ほど実際の金額のブレも大きくなる、といった現実をうまく捉えることができます。さらに、多くのデータが小さい値に偏っていて、ごく一部に大きな値があるような、左右非対称な「歪んだデータ」にも強いのが特徴です。
注意すべき点
一方で、注意すべき点もあります。最も基本的なことですが、分析したい結果のデータは「厳密にプラス」でなければなりません 。ゼロやマイナスの値が含まれている場合は、そのままでは使えません。例えば、全く修理費用が発生しなかった（ゼロ円だった）ケースが多いデータの場合は、少し工夫が必要になります。また、ガンマ回帰はばらつきに強いとはいえ、「極端すぎる外れ値」には注意が必要です 。入力ミスによるありえない数値などが紛れ込んでいると、分析結果が歪んでしまう可能性があります。分析前には、データの内容をよく確認することが大切です。そして最後に、「本当にガンマ分布が最適か？」と常に問いかける姿勢も重要です。ガンマ分布は万能ではなく、世の中には対数正規分布やワイブル分布など、プラスの値を取るデータに適した他の確率分布も存在します 。データの特徴をよく観察し、場合によっては他のモデルと比較検討することも、より良い分析への近道となるでしょう。
まとめ：ガンマ回帰モデルは、あなたの「データ解読」の強力な味方！
今回は、ガンマ回帰モデルという、ちょっと特別な分析手法について、具体的な事例を交えながらご紹介しました。
一見すると難しそうに感じるかもしれませんが、その本質は「世の中のありのままの、ちょっとクセのあるデータを、そのままの姿で理解しよう」という、とても素直なアプローチです。
保険金の支払い、医療費、製品の寿命、お客様の購買行動…私たちの周りには、ガンマ回帰モデルが活躍できるような、「プラスの値で、ばらつきの大きなデータ」がたくさん眠っています。
このモデルを知ることで、これまで見過ごされてきたデータの中に隠された、興味深い関係性や未来を予測するヒントを発見できるかもしれません。データ分析の奥深さと面白さを、少しでも感じていただけたら嬉しいです。
引用文献
- ガンマ分布を活用したマーケティング戦略｜データ分析でビジネス成長を促進する方法, https://book.st-hakky.com/data-analysis/gamma-distribution-in-marketing/
- 【5分で分かる】ガンマ分布・指数分布とは！？ - YouTube, https://www.youtube.com/watch?v=fqMghDZY-7k&pp=0gcJCdgAo7VqN5tD
- 4-2. ガンマ分布 | 統計学の時間 | 統計WEB, https://bellcurve.jp/statistics/course/26673.html
- 一般化線形モデルの基礎 — ごちきか, https://gochikika.ntt.com/Modeling/glm_basics.html
- 一般化線形モデル (GLM) 分布およびリンク関数の選択ガイド - 統計を簡単に学ぶ, https://ja.statisticseasily.com/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E5%88%86%E5%B8%83%E3%81%A8%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF%E9%96%A2%E6%95%B0/
- 日本保険・年金リスク学会誌 Vol.10 No.1, 2018, http://www.jarip.org/publication/jarip_jounal/pdf/Journal_v10n1_021.pdf
- 消費者行動理論にもとづいた 個人レベルの RF 分析： 階層ベイズによる Pareto/NBD モデルの改良, https://merc.e.u-tokyo.ac.jp/mmrc/dp/pdf/MMRC183_2007.pdf
- ガンマ分布をPythonで扱う方法｜データ分析のスキル向上 - Hakky Handbook, https://book.st-hakky.com/data-analysis/gamma-distribution-python/
